Let $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 3 } ) ^ { n } d x$, where $n \in \mathbb { N }$. Then $\frac { 3 n + 1 } { 3 n } \cdot \frac { I _ { n + 1 } } { I _ { n } }$ is equal to:
(1) 1
(2) $\frac { n } { n + 1 }$
(3) $\frac { n + 1 } { n }$
(4) $\frac { 3 n + 1 } { 3 n - 2 }$

If $I _ { n } = \int _ { \frac { \pi } { 4 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \cot ^ { n } x \, d x$, then
(1) $I _ { 2 } + I _ { 4 } , \left( I _ { 3 } + I _ { 5 } \right) ^ { 2 } , I _ { 4 } + I _ { 6 }$ are in G.P.
(2) $I _ { 2 } + I _ { 4 } , I _ { 3 } + I _ { 5 } , I _ { 4 } + I _ { 6 }$ are in A.P.
(3) $\frac { 1 } { I _ { 2 } + I _ { 4 } } , \frac { 1 } { I _ { 3 } + I _ { 5 } } , \frac { 1 } { I _ { 4 } + I _ { 6 } }$ are in A.P.
(4) $\frac { 1 } { I _ { 2 } + I _ { 4 } } , \frac { 1 } { I _ { 3 } + I _ { 5 } } , \frac { 1 } { I _ { 4 } + I _ { 6 } }$ are in G.P.

Let $I _ { n } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 1 } { \left( t ^ { 2 } + 5 \right) ^ { n } } d t , n = 1,2,3 , \ldots$. Then
(1) $50 I _ { 6 } - 9 I _ { 5 } = x I _ { 5 } ^ { \prime }$
(2) $50 I _ { 6 } - 11 I _ { 5 } = x I _ { 5 } ^ { \prime }$
(3) $50 I _ { 6 } - 9 I _ { 5 } = I _ { 5 } ^ { \prime }$
(4) $50 I _ { 6 } - 11 I _ { 5 } = I _ { 5 } ^ { \prime }$

The value of $k \in \mathrm {~N}$ for which the integral $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - x ^ { k } \right) ^ { n } d x , n \in \mathbb { N }$, satisfies $147 I _ { 20 } = 148 I _ { 21 }$ is
(1) 14
(2) 8
(3) 10
(4) 7