Let $\widehat { \mu } = \left( \mu _ { 1 } > \cdots > \mu _ { n } \right) \in \mathbb { R } ^ { n }$. We are given integers $m _ { k } \geqslant 1$ for $k = 1 , \ldots , n$. We set
$$Q _ { 1 } = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( X - \mu _ { k } \right) ^ { m _ { k } } \quad \text { and, this time, } \quad P _ { j } = \frac { Q _ { 1 } } { X - \mu _ { j } } .$$
Show that
$$Q _ { 1 } \wedge Q _ { 1 } ^ { \prime } = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( X - \mu _ { k } \right) ^ { m _ { k } - 1 }$$