For any real $\alpha > 0$, consider the function $h _ { \alpha } : t \mapsto \ln \left( \frac { 1 - t ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } + t ^ { 2 } } \right)$ and set $J _ { \alpha } = \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { \alpha } ( t ) \, \mathrm { d } t$. Justify that
$$J _ { \alpha } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ( 1 - t ) \, \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ( 1 + t ) \, \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln \left( \alpha ^ { 2 } + t ^ { 2 } \right) \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 2 } \ln ( u ) \, \mathrm { d } u - \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln \left( \alpha ^ { 2 } + t ^ { 2 } \right) \mathrm { d } t.$$