Define
$$x = \sum _ { i = 1 } ^ { 10 } \frac { 1 } { 10 \sqrt { 3 } } \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { i } { 10 \sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 } } \quad \text { and } \quad y = \sum _ { i = 0 } ^ { 9 } \frac { 1 } { 10 \sqrt { 3 } } \frac { 1 } { 1 + \left( \frac { i } { 10 \sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 } } .$$
Show that a) $x < \frac { \pi } { 6 } < y$ and b) $\frac { x + y } { 2 } < \frac { \pi } { 6 }$. (Hint: Relate these sums to an integral.)