$f ( x ) = \frac { 2 x } { \sqrt { x ^ { 2 } + x + 1 } }$

a) $x ^ { 2 } + x + 1 > 0$

$x ^ { 2 } + x + ( 1 / 2 ) ^ { 2 } + 1 > 0$

$( x + 1 / 2 ) ^ { 2 } + 1 - 1 / 4 > 0$

$( x + 1 / 2 ) ^ { 2 } + 3 / 4 > 0$ for oll real $x$

Domain: All real $x$

b) see graph

c) $\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 x } { \sqrt { x ^ { 2 } + x + 1 } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 x } { \sqrt { \frac { x } { x ^ { 2 } } + x + 1 } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 } { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } = \frac { 2 } { \sqrt { 1 + 0 + 0 } } = 2$

$\lim _ { x \rightarrow - \infty } \frac { 2 x } { \sqrt { x } ^ { 2 } + x + 1 } = \lim _ { x \rightarrow - \infty } \frac { 2 } { \sqrt { 1 + \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } } = - \frac { 2 } { \sqrt { 1 + 0 + 0 } } = - 2$

$y = 2 , y = - 2$

d) $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { x + 2 } { \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right) ^ { 3 / 2 } }$

$f ^ { \prime } ( x ) = 0$

$x + 2 = 0$

$x = - 2$

$f ( - 2 ) = - \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } = - \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 3 }$

Range: $\{ 4 : - 4 \sqrt { 3 } / 3 \leq 4 < 2 \}$