grandes-ecoles 2022 Q15

grandes-ecoles · France · mines-ponts-maths1__psi Proof Direct Proof of a Stated Identity or Equality
Show, for all real $t > 0$, the identity $$\int_{1}^{+\infty} \frac{tq(u)}{e^{tu}-1} \mathrm{~d}u = -\frac{1}{2}\ln(1-e^{-t}) - \ln P(e^{-t}) - \int_{1}^{+\infty} \ln(1-e^{-tu}) \mathrm{d}u$$ 
Show, for all real $t > 0$, the identity
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{tq(u)}{e^{tu}-1} \mathrm{~d}u = -\frac{1}{2}\ln(1-e^{-t}) - \ln P(e^{-t}) - \int_{1}^{+\infty} \ln(1-e^{-tu}) \mathrm{d}u$$
Paper Questions
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