Show that $$\forall x , y \in \mathbf { R } _ { + } , \quad x y \leq \frac { x ^ { p } } { p } + \frac { y ^ { q } } { q }$$ where $p , q \in ] 1 , + \infty [$ such that $\frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { q } = 1$.
Show that
$$\forall x , y \in \mathbf { R } _ { + } , \quad x y \leq \frac { x ^ { p } } { p } + \frac { y ^ { q } } { q }$$
where $p , q \in ] 1 , + \infty [$ such that $\frac { 1 } { p } + \frac { 1 } { q } = 1$.