grandes-ecoles 2025 Q2a

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For a square matrix $M$ and a nonzero natural integer $k$, we denote $$\delta_k(M) = -\operatorname{dim}\ker M^{k-1} + 2\operatorname{dim}\ker M^k - \operatorname{dim}\ker M^{k+1}.$$ Prove that if two square matrices $M$ and $M'$ are similar, then $\delta_k(M) = \delta_k(M')$ for all $k$.

For a square matrix $M$ and a nonzero natural integer $k$, we denote
$$\delta_k(M) = -\operatorname{dim}\ker M^{k-1} + 2\operatorname{dim}\ker M^k - \operatorname{dim}\ker M^{k+1}.$$
Prove that if two square matrices $M$ and $M'$ are similar, then $\delta_k(M) = \delta_k(M')$ for all $k$.

Paper Questions

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