grandes-ecoles 2022 Q7

grandes-ecoles · France · mines-ponts-maths1__mp Proof Direct Proof of a Stated Identity or Equality

Let $n \in \mathbf { N }$. Show that for all real $t > 0$,
$$p _ { n } = \frac { e ^ { n t } } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n \theta } P \left( e ^ { - t + i \theta } \right) \mathrm { d } \theta$$
so that
$$p _ { n } = \frac { e ^ { n t } P \left( e ^ { - t } \right) } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n \theta } \frac { P \left( e ^ { - t + i \theta } \right) } { P \left( e ^ { - t } \right) } \mathrm { d } \theta$$

Let $n \in \mathbf { N }$. Show that for all real $t > 0$,

$$p _ { n } = \frac { e ^ { n t } } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n \theta } P \left( e ^ { - t + i \theta } \right) \mathrm { d } \theta$$

so that

$$p _ { n } = \frac { e ^ { n t } P \left( e ^ { - t } \right) } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n \theta } \frac { P \left( e ^ { - t + i \theta } \right) } { P \left( e ^ { - t } \right) } \mathrm { d } \theta$$

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