grandes-ecoles 2023 Q11

grandes-ecoles · France · mines-ponts-maths1__pc 3x3 Matrices Determinant of Parametric or Structured Matrix
Show that, if $A$ and $B$ belong to $S_n^{++}(\mathbf{R})$, then: $$\forall t \in [0,1], \quad \operatorname{det}((1-t)A + tB) \geq \operatorname{det}(A)^{1-t} \operatorname{det}(B)^t$$ Justify that this inequality remains valid for $A$ and $B$ only in $S_n^+(\mathbf{R})$. 
Show that, if $A$ and $B$ belong to $S_n^{++}(\mathbf{R})$, then:
$$\forall t \in [0,1], \quad \operatorname{det}((1-t)A + tB) \geq \operatorname{det}(A)^{1-t} \operatorname{det}(B)^t$$
Justify that this inequality remains valid for $A$ and $B$ only in $S_n^+(\mathbf{R})$.
Paper Questions
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