grandes-ecoles 2023 Q19

grandes-ecoles · France · x-ens-maths-a__mp Proof Proof of Equivalence or Logical Relationship Between Conditions

Prove Theorem A: Let $\|\cdot\|$ be a norm on the $\mathbb{R}$-vector space $\mathbb{R}^2$. If $$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \geq 4$$ for all $x, y \in \mathbb{R}^2$ satisfying $\|x\| = \|y\| = 1$, then $\|\cdot\|$ comes from an inner product on $\mathbb{R}^2$.

Prove Theorem A:\\
Let $\|\cdot\|$ be a norm on the $\mathbb{R}$-vector space $\mathbb{R}^2$. If
$$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \geq 4$$
for all $x, y \in \mathbb{R}^2$ satisfying $\|x\| = \|y\| = 1$, then $\|\cdot\|$ comes from an inner product on $\mathbb{R}^2$.

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