Deduce that:
$$\int _ { \frac { \pi } { 2 } } ^ { + \infty } ( \cos ( t ) ) ^ { 2 p } \frac { \sin ( t ) } { t } \mathrm {~d} t = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } ( \cos ( t ) ) ^ { 2 p } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } \frac { 2 ( - 1 ) ^ { n } t \sin ( t ) } { t ^ { 2 } - n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } t$$