The expression $$\sum _ { k = 0 } ^ { 10 } 2 ^ { k } \tan \left( 2 ^ { k } \right)$$ equals
(A) $\cot 1 + 2 ^ { 11 } \cot \left( 2 ^ { 11 } \right)$.
(B) $\cot 1 - 2 ^ { 10 } \cot \left( 2 ^ { 10 } \right)$.
(C) $\cot 1 + 2 ^ { 10 } \cot \left( 2 ^ { 10 } \right)$.
(D) $\cot 1 - 2 ^ { 11 } \cot \left( 2 ^ { 11 } \right)$.

The value of $\sum _ { k = 1 } ^ { 13 } \frac { 1 } { \sin \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { ( k - 1 ) \pi } { 6 } \right) \sin \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { k \pi } { 6 } \right) }$ is equal to
(A) $3 - \sqrt { 3 }$
(B) $2 ( 3 - \sqrt { 3 } )$
(C) $2 ( \sqrt { 3 } - 1 )$
(D) $2 ( 2 + \sqrt { 3 } )$

Let
$$\alpha = \frac { 1 } { \sin 60 ^ { \circ } \sin 61 ^ { \circ } } + \frac { 1 } { \sin 62 ^ { \circ } \sin 63 ^ { \circ } } + \cdots + \frac { 1 } { \sin 118 ^ { \circ } \sin 119 ^ { \circ } } .$$
Then the value of
$$\left( \frac { \operatorname { cosec } 1 ^ { \circ } } { \alpha } \right) ^ { 2 }$$
is $\_\_\_\_$.

If $\sum _ { r = 1 } ^ { 13 } \left\{ \frac { 1 } { \sin \left( \frac { \pi } { 4 } + ( r - 1 ) \frac { \pi } { 6 } \right) \sin \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { r \pi } { 6 } \right) } \right\} = a \sqrt { 3 } + b , a , b \in \mathbf { Z }$, then $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ is equal to :
(1) 10
(2) 4
(3) 2
(4) 8