grandes-ecoles 2019 Q13

grandes-ecoles · France · centrale-maths2__official Sequences and Series Proof of Inequalities Involving Series or Sequence Terms

For all $(x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}$, we define $\pi_n(x) = \frac{\lfloor 2^n x \rfloor}{2^n}$.
Establish $$\forall (x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}, \quad \pi_n(x) \leqslant x < \pi_n(x) + \frac{1}{2^n}.$$

For all $(x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}$, we define $\pi_n(x) = \frac{\lfloor 2^n x \rfloor}{2^n}$.

Establish
$$\forall (x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}, \quad \pi_n(x) \leqslant x < \pi_n(x) + \frac{1}{2^n}.$$

Paper Questions

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