grandes-ecoles 2021 Q40

grandes-ecoles · France · centrale-maths1__mp Discrete Random Variables Dominated Convergence and Truncation Arguments for Discrete Variables

For every $(i,j) \in (\mathbb{N}^{\star})^{2}$ and for every $C > 0$, we set $\sigma_{ij}(C) = \sqrt{\mathbb{V}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)}$. If $\sigma_{ij}(C) \neq 0$, we set $$\widehat{X}_{ij}(C) = \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)\right).$$
Show that $$\lim_{C \rightarrow +\infty} \mathbb{E}\left(\left(X_{ij} - \widehat{X}_{ij}(C)\right)^{2}\right) = 0.$$

For every $(i,j) \in (\mathbb{N}^{\star})^{2}$ and for every $C > 0$, we set $\sigma_{ij}(C) = \sqrt{\mathbb{V}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)}$. If $\sigma_{ij}(C) \neq 0$, we set
$$\widehat{X}_{ij}(C) = \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)\right).$$

Show that
$$\lim_{C \rightarrow +\infty} \mathbb{E}\left(\left(X_{ij} - \widehat{X}_{ij}(C)\right)^{2}\right) = 0.$$

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