For all $(i,j) \in (\mathbb{N}^{\star})^{2}$ and for all $C > 0$, we set $\sigma_{ij}(C) = \sqrt{\mathbb{V}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)}$. If $\sigma_{ij}(C) \neq 0$, we set $$\widehat{X}_{ij}(C) = \frac{1}{\sigma_{ij}(C)} \left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)\right).$$ Show that $$X_{ij} - \widehat{X}_{ij}(C) = \left(1 - \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\right) X_{ij} + \frac{1}{\sigma_{ij}(C)} \left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| > C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| > C}\right)\right).$$
For all $(i,j) \in (\mathbb{N}^{\star})^{2}$ and for all $C > 0$, we set $\sigma_{ij}(C) = \sqrt{\mathbb{V}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)}$. If $\sigma_{ij}(C) \neq 0$, we set
$$\widehat{X}_{ij}(C) = \frac{1}{\sigma_{ij}(C)} \left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| \leqslant C}\right)\right).$$
Show that
$$X_{ij} - \widehat{X}_{ij}(C) = \left(1 - \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\right) X_{ij} + \frac{1}{\sigma_{ij}(C)} \left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| > C} - \mathbb{E}\left(X_{ij} \mathbb{1}_{|X_{ij}| > C}\right)\right).$$