For all $n \in \mathbb { N }$, set $\mu _ { n } = \left( X ^ { n } \mid 1 \right)$ with the inner product
$$( P \mid Q ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } P ( 4 x ) Q ( 4 x ) \frac { \sqrt { 1 - x } } { \sqrt { x } } \mathrm { ~d} x .$$
Using integration by parts, show
$$\forall n \in \mathbb { N } ^ { * } , \quad 4 \mu _ { n - 1 } - \mu _ { n } = \frac { 2 \times 4 ^ { n } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n - 3 / 2 } ( 1 - x ) ^ { 3 / 2 } \mathrm { d } x = \frac { 3 } { 2 n - 1 } \mu _ { n } .$$