grandes-ecoles 2022 Q7a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Taylor series Extract derivative values from a given series

For every integer $k \geqslant 2$, we set $\zeta(k) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-k}$. Let $h$ be the function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ defined by $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad h(x) = \begin{cases} \frac{x}{e^x - 1} & \text{if } x \neq 0 \\ 1 & \text{if } x = 0 \end{cases}$$ Show that the function $h$ is of class $C^\infty$ on $\mathbb{R}$ and that, for all $n \in \mathbb{N}^*$, we have $$h^{(2n)}(0) = \frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{\pi^{2n} 2^{2n-1}} \zeta(2n)$$

For every integer $k \geqslant 2$, we set $\zeta(k) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-k}$. Let $h$ be the function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ defined by
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad h(x) = \begin{cases} \frac{x}{e^x - 1} & \text{if } x \neq 0 \\ 1 & \text{if } x = 0 \end{cases}$$
Show that the function $h$ is of class $C^\infty$ on $\mathbb{R}$ and that, for all $n \in \mathbb{N}^*$, we have
$$h^{(2n)}(0) = \frac{(-1)^{n-1}(2n)!}{\pi^{2n} 2^{2n-1}} \zeta(2n)$$

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