grandes-ecoles 2022 Q20a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Probability Distributions Properties of Named Discrete Distributions (Non-Binomial)

For every integer $k \geqslant 2$, we set $\zeta(k) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-k}$. For fixed $s > 1$, we define a probability distribution $\mu_s$ on $\mathbb{N}^*$ by setting, for $n \in \mathbb{N}^*$, $$\mu_s(\{n\}) = \frac{1}{\zeta(s) n^s}$$ Let $Z$ be a random variable defined on $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ that follows the distribution $\mu_s$. Calculate $\mathbf{P}(k \mid Z)$ for $k \in \mathbb{N}^*$.

For every integer $k \geqslant 2$, we set $\zeta(k) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-k}$. For fixed $s > 1$, we define a probability distribution $\mu_s$ on $\mathbb{N}^*$ by setting, for $n \in \mathbb{N}^*$,
$$\mu_s(\{n\}) = \frac{1}{\zeta(s) n^s}$$
Let $Z$ be a random variable defined on $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ that follows the distribution $\mu_s$. Calculate $\mathbf{P}(k \mid Z)$ for $k \in \mathbb{N}^*$.

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