Let $E _ { 1 } = \left\{ x \in \mathbb { R } : x \neq 1 \right.$ and $\left. \frac { x } { x - 1 } > 0 \right\}$ and $E _ { 2 } = \left\{ x \in E _ { 1 } : \sin ^ { - 1 } \left( \log _ { e } \left( \frac { x } { x - 1 } \right) \right) \right.$ is a real number $\}$. (Here, the inverse trigonometric function $\sin ^ { - 1 } x$ assumes values in $\left[ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } \right]$.) Let $f : E _ { 1 } \rightarrow \mathbb { R }$ be the function defined by $f ( x ) = \log _ { e } \left( \frac { x } { x - 1 } \right)$ and $g : E _ { 2 } \rightarrow \mathbb { R }$ be the function defined by $g ( x ) = \sin ^ { - 1 } \left( \log _ { e } \left( \frac { x } { x - 1 } \right) \right)$.

\textbf{LIST-I}\\
P. The range of $f$ is\\
Q. The range of $g$ contains\\
R. The domain of $f$ contains\\
S. The domain of $g$ is

\textbf{LIST-II}
\begin{enumerate}
  \item $\left( - \infty , \frac { 1 } { 1 - e } \right] \cup \left[ \frac { e } { e - 1 } , \infty \right)$
  \item $( 0,1 )$
  \item $\left[ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right]$
  \item $( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , \infty )$
  \item $\left( - \infty , \frac { e } { e - 1 } \right]$
  \item $( - \infty , 0 ) \cup \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { e } { e - 1 } \right]$
\end{enumerate}

The correct option is:\\
(A) $\mathbf { P } \rightarrow \mathbf { 4 } ; \mathbf { Q } \rightarrow \mathbf { 2 } ; \mathbf { R } \rightarrow \mathbf { 1 } ; \mathbf { S } \rightarrow \mathbf { 1 }$\\
(B) $\mathbf { P } \rightarrow \mathbf { 3 } ; \mathbf { Q } \rightarrow \mathbf { 3 } ; \mathbf { R } \rightarrow \mathbf { 6 } ; \mathbf { S } \rightarrow \mathbf { 5 }$\\
(C) $\mathbf { P } \rightarrow \mathbf { 4 } ; \mathbf { Q } \rightarrow \mathbf { 2 } ; \mathbf { R } \rightarrow \mathbf { 1 } ; \mathbf { S } \rightarrow \mathbf { 6 }$\\
(D) $\mathrm { P } \rightarrow 4 ; \mathrm { Q } \rightarrow 3 ; \mathrm { R } \rightarrow 6 ; \mathrm { S } \rightarrow 5$