3. Let n be any positive integer. Prove that:
$$\sum _ { k = 0 } ^ { m } \frac { \binom { 2 n - k } { k } } { \binom { 2 n - k } { n } } \cdot \frac { ( 2 n - 4 k + 1 ) } { ( 2 n - 2 k + 1 ) } 2 ^ { n - 2 k } = \frac { \binom { n } { m } } { \binom { 2 n - 2 m } { n - m } } 2 ^ { n - 2 m }$$
for each nonnegative integer $\mathrm { m } \leq \mathrm { n }$. (Here $\left. \binom { p } { q } = \square ^ { p } C _ { q } \right)$\\