jee-advanced 2003 Q4

jee-advanced · India · mains Binomial Theorem (positive integer n) Prove a Binomial Identity or Inequality

Prove that $$\begin{aligned} & 2 ^ { k } \binom { n } { 0 } \binom { n } { k } - 2 ^ { n - 1 } \binom { n } { 1 } \binom { n - 1 } { k - 1 } + 2 ^ { k - 2 } \\ & \binom { n } { 2 } \binom { n - 2 } { k - 2 } - \ldots \ldots \ldots ( - 1 ) ^ { k } \binom { n } { k } \binom { n - k } { 0 } = \binom { n } { k } . \end{aligned}$$

For natural numbers $m$ and $n$, if $I ( m , n ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { m } ( 1 + t ) ^ { n } d t$, then $I ( m , n )$

Prove that $$\begin{aligned} & 2 ^ { k } \binom { n } { 0 } \binom { n } { k } - 2 ^ { n - 1 } \binom { n } { 1 } \binom { n - 1 } { k - 1 } + 2 ^ { k - 2 } \\ & \binom { n } { 2 } \binom { n - 2 } { k - 2 } - \ldots \ldots \ldots ( - 1 ) ^ { k } \binom { n } { k } \binom { n - k } { 0 } = \binom { n } { k } . \end{aligned}$$

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