isi-entrance 2019 Q22

isi-entrance · India · UGA Binomial Theorem (positive integer n) Extract Coefficients Using Roots of Unity or Substitution Filter

Let the integers $a _ { i }$ for $0 \leq i \leq 54$ be defined by the equation
$$\left( 1 + X + X ^ { 2 } \right) ^ { 27 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } X + a _ { 2 } X ^ { 2 } + \cdots + a _ { 54 } X ^ { 54 }$$
Then, $a _ { 0 } + a _ { 3 } + a _ { 6 } + a _ { 9 } + \cdots + a _ { 54 }$ equals
(A) $3 ^ { 26 }$
(B) $3 ^ { 27 }$
(C) $3 ^ { 28 }$
(D) $3 ^ { 29 }$.

Let the integers $a _ { i }$ for $0 \leq i \leq 54$ be defined by the equation

$$\left( 1 + X + X ^ { 2 } \right) ^ { 27 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } X + a _ { 2 } X ^ { 2 } + \cdots + a _ { 54 } X ^ { 54 }$$

Then, $a _ { 0 } + a _ { 3 } + a _ { 6 } + a _ { 9 } + \cdots + a _ { 54 }$ equals\\
(A) $3 ^ { 26 }$\\
(B) $3 ^ { 27 }$\\
(C) $3 ^ { 28 }$\\
(D) $3 ^ { 29 }$.

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