isi-entrance 2020 Q29

isi-entrance · India · UGA Binomial Distribution Compute Expectation of a Binomial Sum (Algebraic Evaluation)

Let $n$ be a positive integer and $t \in ( 0,1 )$. Then $\sum _ { r = 0 } ^ { n } r \binom { n } { r } t ^ { r } ( 1 - t ) ^ { n - r }$ equals
(A) $n t$
(B) $( n - 1 ) ( 1 - t )$
(C) $n t + ( n - 1 ) ( 1 - t )$
(D) $\left( n ^ { 2 } - 2 n + 2 \right) t$.

Let $n$ be a positive integer and $t \in ( 0,1 )$. Then $\sum _ { r = 0 } ^ { n } r \binom { n } { r } t ^ { r } ( 1 - t ) ^ { n - r }$ equals\\
(A) $n t$\\
(B) $( n - 1 ) ( 1 - t )$\\
(C) $n t + ( n - 1 ) ( 1 - t )$\\
(D) $\left( n ^ { 2 } - 2 n + 2 \right) t$.

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