grandes-ecoles 2013 Q11b

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Proof Bounding or Estimation Proof

Let $s \in ]0,1[$. Show that if $f \in \Gamma^{s}(x_{0}) \cap \mathcal{C}_{0}$, then there exists a real number $c_{1} > 0$, such that for all $(j, k) \in \mathcal{I}$, we have $$|c_{j,k}(f)| \leq c_{1} (2^{-j} + |k 2^{-j} - x_{0}|)^{s} .$$ Recall that $c_{j,k}(f) = f\left(\left(k + \frac{1}{2}\right) 2^{-j}\right) - \frac{f(k 2^{-j}) + f((k+1) 2^{-j})}{2}$.

Let $s \in ]0,1[$. Show that if $f \in \Gamma^{s}(x_{0}) \cap \mathcal{C}_{0}$, then there exists a real number $c_{1} > 0$, such that for all $(j, k) \in \mathcal{I}$, we have
$$|c_{j,k}(f)| \leq c_{1} (2^{-j} + |k 2^{-j} - x_{0}|)^{s} .$$
Recall that $c_{j,k}(f) = f\left(\left(k + \frac{1}{2}\right) 2^{-j}\right) - \frac{f(k 2^{-j}) + f((k+1) 2^{-j})}{2}$.

Paper Questions

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