grandes-ecoles 2013 Q8b

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For all $(j, k) \in \mathcal{I}$, $$c_{j,k}(f) = f\left(\left(k + \frac{1}{2}\right) 2^{-j}\right) - \frac{f(k 2^{-j}) + f((k+1) 2^{-j})}{2} .$$ Suppose $f$ is of class $\mathcal{C}^{2}$. Show that there exists a constant $M' \geq 0$ such that for all $(j, k) \in \mathcal{I}$, $|c_{j,k}(f)| \leq M' 4^{-j}$.

For all $(j, k) \in \mathcal{I}$,
$$c_{j,k}(f) = f\left(\left(k + \frac{1}{2}\right) 2^{-j}\right) - \frac{f(k 2^{-j}) + f((k+1) 2^{-j})}{2} .$$
Suppose $f$ is of class $\mathcal{C}^{2}$. Show that there exists a constant $M' \geq 0$ such that for all $(j, k) \in \mathcal{I}$, $|c_{j,k}(f)| \leq M' 4^{-j}$.

Paper Questions

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