grandes-ecoles 2024 Q4

grandes-ecoles · France · x-ens-maths-a__mp Number Theory Combinatorial Structures on Permutation Matrices/Groups

For $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, specify the condition on $\nu(\sigma)$ for which $\sigma \in \mathfrak{D}_n$. Deduce that $$\operatorname{Card}\left\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = 1\right\} = \operatorname{Card}\left\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = -1\right\} + (-1)^{n-1}(n-1).$$

For $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, specify the condition on $\nu(\sigma)$ for which $\sigma \in \mathfrak{D}_n$. Deduce that
$$\operatorname{Card}\left\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = 1\right\} = \operatorname{Card}\left\{\sigma \in \mathfrak{D}_n : \varepsilon(\sigma) = -1\right\} + (-1)^{n-1}(n-1).$$

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