jee-advanced 2004 Q4

jee-advanced · India · mains 3x3 Matrices Determinant and Rank Computation

4. If M is a $3 \times 3$ matrix, where $\mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \mathrm { M } = \mathrm { I }$ and $\operatorname { det } ( \mathrm { M } ) = 1$, then prove that $\operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = 0$.
Sol. $\quad ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { I } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \mathrm { M } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } ( \mathrm { I } - \mathrm { M } )$
$$\Rightarrow \left| ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } \right| = | \mathrm { M } - \mathrm { I } | = \left| \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right| | \mathrm { I } - \mathrm { M } | = | \mathrm { I } - \mathrm { M } | \Rightarrow | \mathrm { M } - \mathrm { I } | = 0 .$$
Alternate: $\operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) \operatorname { det } \left( \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right) = \operatorname { det } \left( \mathrm { MM } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right)$
$$= \operatorname { det } \left( \mathrm { I } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right) = - \operatorname { det } \left( \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { I } \right) = - \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } = - \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) \Rightarrow \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = 0 \text {. }$$

If $\mathrm { y } ( \mathrm { x } ) = \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \mathrm { x } \cdot \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta$ then find $\frac { \mathrm { dy } } { \mathrm { dx } }$ at $\mathrm { x } = \pi$.

Sol. $\mathrm { y } = \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \mathrm { x } \cdot \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta = \cos \mathrm { x } \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta$ so that $\frac { d y } { d x } = - \sin x \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { x ^ { 2 } } \frac { \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } d \theta + \frac { 2 x \cos x \cdot \cos x } { 1 + \sin ^ { 2 } x }$ Hence, at $\mathrm { x } = \pi , \frac { \mathrm { dy } } { \mathrm { dx } } = 0 + \frac { 2 \pi ( - 1 ) ( - 1 ) } { 1 + 0 } = 2 \pi$.

Let $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } x ^ { \alpha } \ln x , & x > 0 \\ 0 , & x = 0 \end{array} \right.$. Then Rolle's theorem is applicable to $f$ on [ 0,1 ] if $\alpha$ equals

4. If M is a $3 \times 3$ matrix, where $\mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \mathrm { M } = \mathrm { I }$ and $\operatorname { det } ( \mathrm { M } ) = 1$, then prove that $\operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = 0$.

Sol. $\quad ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { I } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \mathrm { M } = \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } ( \mathrm { I } - \mathrm { M } )$

$$\Rightarrow \left| ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } \right| = | \mathrm { M } - \mathrm { I } | = \left| \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right| | \mathrm { I } - \mathrm { M } | = | \mathrm { I } - \mathrm { M } | \Rightarrow | \mathrm { M } - \mathrm { I } | = 0 .$$

Alternate: $\operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) \operatorname { det } \left( \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right) = \operatorname { det } \left( \mathrm { MM } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right)$

$$= \operatorname { det } \left( \mathrm { I } - \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } \right) = - \operatorname { det } \left( \mathrm { M } ^ { \mathrm { T } } - \mathrm { I } \right) = - \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) ^ { \mathrm { T } } = - \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) \Rightarrow \operatorname { det } ( \mathrm { M } - \mathrm { I } ) = 0 \text {. }$$

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item If $\mathrm { y } ( \mathrm { x } ) = \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \mathrm { x } \cdot \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta$ then find $\frac { \mathrm { dy } } { \mathrm { dx } }$ at $\mathrm { x } = \pi$.
\end{enumerate}

Sol. $\mathrm { y } = \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \mathrm { x } \cdot \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta = \cos \mathrm { x } \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { \mathrm { x } ^ { 2 } } \frac { \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } \mathrm {~d} \theta$\\
so that $\frac { d y } { d x } = - \sin x \int _ { \pi ^ { 2 } / 16 } ^ { x ^ { 2 } } \frac { \cos \sqrt { \theta } } { 1 + \sin ^ { 2 } \sqrt { \theta } } d \theta + \frac { 2 x \cos x \cdot \cos x } { 1 + \sin ^ { 2 } x }$\\
Hence, at $\mathrm { x } = \pi , \frac { \mathrm { dy } } { \mathrm { dx } } = 0 + \frac { 2 \pi ( - 1 ) ( - 1 ) } { 1 + 0 } = 2 \pi$.\\

Paper Questions

Q2 Q3 Q4 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20