jee-advanced 2004 Q8

jee-advanced · India · mains Proof Existence Proof
8. If $\mathrm { p } ( \mathrm { x } ) = 51 \mathrm { x } ^ { 101 } - 2323 \mathrm { x } ^ { 100 } - 45 \mathrm { x } + 1035$, using Rolle's Theorem, prove that atleast one root lies between ( $45 ^ { 1 / 100 } , 46$ ). Sol. Let $\mathrm { g } ( \mathrm { x } ) = \int \mathrm { p } ( \mathrm { x } ) \mathrm { dx } = \frac { 51 \mathrm { x } ^ { 102 } } { 102 } - \frac { 2323 \mathrm { x } ^ { 101 } } { 101 } - \frac { 45 \mathrm { x } ^ { 2 } } { 2 } + 1035 \mathrm { x } + \mathrm { c }$ $= \frac { 1 } { 2 } \mathrm { x } ^ { 102 } - 23 \mathrm { x } ^ { 101 } - \frac { 45 } { 2 } \mathrm { x } ^ { 2 } + 1035 \mathrm { x } + \mathrm { c }$. Now $\mathrm { g } \left( 45 ^ { 1 / 100 } \right) = \frac { 1 } { 2 } ( 45 ) ^ { \frac { 102 } { 100 } } - 23 ( 45 ) ^ { \frac { 101 } { 100 } } - \frac { 45 } { 2 } ( 45 ) ^ { \frac { 2 } { 100 } } + 1035 ( 45 ) ^ { \frac { 1 } { 100 } } + \mathrm { c } = \mathrm { c }$ $\mathrm { g } ( 46 ) = \frac { ( 46 ) ^ { 102 } } { 2 } - 23 ( 46 ) ^ { 101 } - \frac { 45 } { 2 } ( 46 ) ^ { 2 } + 1035 ( 46 ) + \mathrm { c } = \mathrm { c }$. So $\mathrm { g } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { p } ( \mathrm { x } )$ will have atleast one root in given interval.
If the area bounded by $y = a x ^ { 2 }$ and $x = a y ^ { 2 } , a > 0$, is 1 then the value of $a$ is 
8. If $\mathrm { p } ( \mathrm { x } ) = 51 \mathrm { x } ^ { 101 } - 2323 \mathrm { x } ^ { 100 } - 45 \mathrm { x } + 1035$, using Rolle's Theorem, prove that atleast one root lies between ( $45 ^ { 1 / 100 } , 46$ ).\\
Sol. Let $\mathrm { g } ( \mathrm { x } ) = \int \mathrm { p } ( \mathrm { x } ) \mathrm { dx } = \frac { 51 \mathrm { x } ^ { 102 } } { 102 } - \frac { 2323 \mathrm { x } ^ { 101 } } { 101 } - \frac { 45 \mathrm { x } ^ { 2 } } { 2 } + 1035 \mathrm { x } + \mathrm { c }$\\
$= \frac { 1 } { 2 } \mathrm { x } ^ { 102 } - 23 \mathrm { x } ^ { 101 } - \frac { 45 } { 2 } \mathrm { x } ^ { 2 } + 1035 \mathrm { x } + \mathrm { c }$.\\
Now $\mathrm { g } \left( 45 ^ { 1 / 100 } \right) = \frac { 1 } { 2 } ( 45 ) ^ { \frac { 102 } { 100 } } - 23 ( 45 ) ^ { \frac { 101 } { 100 } } - \frac { 45 } { 2 } ( 45 ) ^ { \frac { 2 } { 100 } } + 1035 ( 45 ) ^ { \frac { 1 } { 100 } } + \mathrm { c } = \mathrm { c }$\\
$\mathrm { g } ( 46 ) = \frac { ( 46 ) ^ { 102 } } { 2 } - 23 ( 46 ) ^ { 101 } - \frac { 45 } { 2 } ( 46 ) ^ { 2 } + 1035 ( 46 ) + \mathrm { c } = \mathrm { c }$.\\
So $\mathrm { g } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { p } ( \mathrm { x } )$ will have atleast one root in given interval.\\
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