jee-advanced 2004 Q15

jee-advanced · India · mains Proof Prove or Verify an Algebraic Inequality (AM-GM, Cauchy-Schwarz, etc.)
15. If $\mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c }$ are positive real numbers, then prove that $[ ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) ] ^ { 7 } > 7 ^ { 7 } \mathrm { a } ^ { 4 } \mathrm {~b} ^ { 4 } \mathrm { c } ^ { 4 }$.
Sol. $( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = 1 + a b + a + b + c + a b c + a c + b c$ $\Rightarrow \frac { ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) - 1 } { 7 } \geq ( \mathrm { ab } . \mathrm { a } . \mathrm { b } . \mathrm { c } . \mathrm { abc } . \mathrm { ac } . \mathrm { bc } ) ^ { 1 / 7 } \quad ($ using $A M \geq G M )$ $\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) - 1 > 7 \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 7 }$ $\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) > 7 \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 7 }$ $\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ^ { 7 } ( 1 + \mathrm { b } ) ^ { 7 } ( 1 + \mathrm { c } ) ^ { 7 } > 7 ^ { 7 } \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right)$.
The angle between the tangents drawn from the point $( 1,4 )$ to the parabola $y ^ { 2 } = 4 x$ is 
15. If $\mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c }$ are positive real numbers, then prove that $[ ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) ] ^ { 7 } > 7 ^ { 7 } \mathrm { a } ^ { 4 } \mathrm {~b} ^ { 4 } \mathrm { c } ^ { 4 }$.

Sol. $( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = 1 + a b + a + b + c + a b c + a c + b c$\\
$\Rightarrow \frac { ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) - 1 } { 7 } \geq ( \mathrm { ab } . \mathrm { a } . \mathrm { b } . \mathrm { c } . \mathrm { abc } . \mathrm { ac } . \mathrm { bc } ) ^ { 1 / 7 } \quad ($ using $A M \geq G M )$\\
$\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) - 1 > 7 \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 7 }$\\
$\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ( 1 + \mathrm { b } ) ( 1 + \mathrm { c } ) > 7 \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 7 }$\\
$\Rightarrow ( 1 + \mathrm { a } ) ^ { 7 } ( 1 + \mathrm { b } ) ^ { 7 } ( 1 + \mathrm { c } ) ^ { 7 } > 7 ^ { 7 } \left( \mathrm { a } ^ { 4 } \cdot \mathrm {~b} ^ { 4 } \cdot \mathrm { c } ^ { 4 } \right)$.\\
Paper Questions
Q2 Q3 Q4 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20