7. If $f : [ - 1,1 ] \rightarrow R$ and $f ^ { \prime } ( 0 ) = \lim _ { n \rightarrow \infty } n f \left( \frac { 1 } { n } \right)$ and $f ( 0 ) = 0$. Find the value of $\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 } { \pi } ( n + 1 ) \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { n } \right) - n$.
Given that $0 < \left| \lim _ { \mathrm { n } \rightarrow \infty } \cos ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \mathrm { n } } \right) \right| < \frac { \pi } { 2 }$. Sol. $\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 } { \pi } ( n + 1 ) \cos ^ { - 1 } \frac { 1 } { n } - n = \lim _ { n \rightarrow \infty } n \left[ \frac { 2 } { \pi } \left( 1 + \frac { 1 } { n } \right) \cos ^ { - 1 } \frac { 1 } { n } - 1 \right]$ $= \lim _ { n \rightarrow \infty } n f \left( \frac { 1 } { n } \right) = f ^ { \prime } ( 0 )$ where $f ( x ) = \frac { 2 } { \pi } ( 1 + x ) \cos ^ { - 1 } x - 1$. Clearly, $\mathrm { f } ( 0 ) = 0$.
Now, $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 2 } { \pi } \left[ ( 1 + x ) \frac { - 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } + \cos ^ { - 1 } x \right]$ $\Rightarrow \mathrm { f } ^ { \prime } ( 0 ) = \frac { 2 } { \pi } \left[ - 1 + \frac { \pi } { 2 } \right] = \frac { 2 } { \pi } \left[ \frac { \pi - 2 } { 2 } \right] = 1 - \frac { 2 } { \pi }$.