2. $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c } , \vec { d }$ are four distinct vectors satisfying the conditions $\vec { a } \times \vec { b } = \vec { c } \times \vec { d }$ and $\vec { a } \times \vec { c } = \vec { b } \times \vec { d }$, then prove that $\vec { a } \cdot \vec { b } + \vec { c } \cdot \vec { d } \neq \vec { a } \cdot \vec { c } + \vec { b } \cdot \vec { d }$. Sol. Given that $\vec { a } \times \vec { b } = \vec { c } \times \vec { d }$ and $\vec { a } \times \vec { c } = \vec { b } \times \vec { d }$ $\Rightarrow \vec { a } \times ( \vec { b } - \vec { c } ) = ( \vec { c } - \vec { b } ) \times \vec { d } = \vec { d } \times ( \vec { b } - \vec { c } ) \Rightarrow \vec { a } - \vec { d } \| \vec { b } - \vec { c }$ $\Rightarrow ( \vec { a } - \vec { d } ) \cdot ( \vec { b } - \vec { c } ) \neq 0 \Rightarrow \vec { a } \cdot \vec { b } + \vec { d } \cdot \vec { c } \neq \vec { d } \cdot \vec { b } + \vec { a } \cdot \vec { c }$.
If $f ( x )$ is a strictly increasing and differentiable function with $f ( 0 ) = 0$, then $\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x ^ { 2 } \right) - f ( x ) } { f ( x ) - f ( 0 ) }$ is equal to
2. $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c } , \vec { d }$ are four distinct vectors satisfying the conditions $\vec { a } \times \vec { b } = \vec { c } \times \vec { d }$ and $\vec { a } \times \vec { c } = \vec { b } \times \vec { d }$, then prove that $\vec { a } \cdot \vec { b } + \vec { c } \cdot \vec { d } \neq \vec { a } \cdot \vec { c } + \vec { b } \cdot \vec { d }$.
Sol. Given that $\vec { a } \times \vec { b } = \vec { c } \times \vec { d }$ and $\vec { a } \times \vec { c } = \vec { b } \times \vec { d }$\\
$\Rightarrow \vec { a } \times ( \vec { b } - \vec { c } ) = ( \vec { c } - \vec { b } ) \times \vec { d } = \vec { d } \times ( \vec { b } - \vec { c } ) \Rightarrow \vec { a } - \vec { d } \| \vec { b } - \vec { c }$\\
$\Rightarrow ( \vec { a } - \vec { d } ) \cdot ( \vec { b } - \vec { c } ) \neq 0 \Rightarrow \vec { a } \cdot \vec { b } + \vec { d } \cdot \vec { c } \neq \vec { d } \cdot \vec { b } + \vec { a } \cdot \vec { c }$.\\