jee-advanced 2004 Q16

jee-advanced · India · screening Chain Rule Continuity Conditions via Composition
16. $\mathrm { f } ( \mathrm { x } ) = \begin{cases} \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \mathrm { x } + \mathrm { c } } { 2 } \right) , & - \frac { 1 } { 2 } < \mathrm { x } < 0 \\ \frac { 1 } { 2 } , & \mathrm { x } = 0 \\ \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { a } } { 2 } \mathrm { x } } - 1 } { \mathrm { x } } , & 0 < \mathrm { x } < \frac { 1 } { 2 } \end{cases}$
If $\mathrm { f } ( \mathrm { x } )$ is differentiable at $\mathrm { x } = 0$ and $| \mathrm { c } | < \frac { 1 } { 2 }$ then find the value of ' a ' and prove that $64 \mathrm {~b} ^ { 2 } = \left( 4 - \mathrm { c } ^ { 2 } \right)$. Sol. $f \left( 0 ^ { + } \right) = f \left( 0 ^ { - } \right) = f ( 0 )$ Here $\mathrm { f } \left( 0 ^ { + } \right) = \lim _ { \mathrm { x } \rightarrow \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } - 1 } { \mathrm { x } } = \lim _ { \mathrm { x } \rightarrow \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } - 1 } { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } \cdot \frac { \mathrm { a } } { 2 } = \frac { \mathrm { a } } { 2 }$. $\Rightarrow \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \frac { \mathrm { c } } { 2 } = \frac { \mathrm { a } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow \mathrm { a } = 1$. $\mathrm { L } \mathrm { f } ^ { \prime } \left( 0 _ { - } \right) = \lim _ { \mathrm { h } \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \frac { ( \mathrm {~h} + \mathrm { c } ) } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } { \mathrm {~h} } = \frac { \mathrm { b } / 2 } { \sqrt { 1 - \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { 4 } } }$ $R f ^ { \prime } \left( 0 _ { + } \right) = \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \frac { e ^ { h / 2 } - 1 } { h } - \frac { 1 } { 2 } } { h } = \frac { 1 } { 8 }$ Now $\mathrm { L } ^ { \prime } \left( 0 _ { - } \right) = \mathrm { Rf } ^ { \prime } \left( 0 _ { + } \right) \Rightarrow \frac { \frac { \mathrm { b } } { 2 } } { \sqrt { 1 - \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { 4 } } } = \frac { 1 } { 8 }$ $4 b = \sqrt { 1 - \frac { c ^ { 2 } } { 4 } } \Rightarrow 16 b ^ { 2 } = \frac { 4 - c ^ { 2 } } { 4 } \Rightarrow 64 b ^ { 2 } = 4 - c ^ { 2 }$.
The locus of the middle point of the intercept of the tangents drawn from an external point to the ellipse $x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2$, between the coordinate axes is 
16. $\mathrm { f } ( \mathrm { x } ) = \begin{cases} \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \mathrm { x } + \mathrm { c } } { 2 } \right) , & - \frac { 1 } { 2 } < \mathrm { x } < 0 \\ \frac { 1 } { 2 } , & \mathrm { x } = 0 \\ \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { a } } { 2 } \mathrm { x } } - 1 } { \mathrm { x } } , & 0 < \mathrm { x } < \frac { 1 } { 2 } \end{cases}$

If $\mathrm { f } ( \mathrm { x } )$ is differentiable at $\mathrm { x } = 0$ and $| \mathrm { c } | < \frac { 1 } { 2 }$ then find the value of ' a ' and prove that $64 \mathrm {~b} ^ { 2 } = \left( 4 - \mathrm { c } ^ { 2 } \right)$.\\
Sol. $f \left( 0 ^ { + } \right) = f \left( 0 ^ { - } \right) = f ( 0 )$\\
Here $\mathrm { f } \left( 0 ^ { + } \right) = \lim _ { \mathrm { x } \rightarrow \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } - 1 } { \mathrm { x } } = \lim _ { \mathrm { x } \rightarrow \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } - 1 } { \frac { \mathrm { ax } } { 2 } } \cdot \frac { \mathrm { a } } { 2 } = \frac { \mathrm { a } } { 2 }$.\\
$\Rightarrow \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \frac { \mathrm { c } } { 2 } = \frac { \mathrm { a } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \Rightarrow \mathrm { a } = 1$.\\
$\mathrm { L } \mathrm { f } ^ { \prime } \left( 0 _ { - } \right) = \lim _ { \mathrm { h } \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \mathrm { b } \sin ^ { - 1 } \frac { ( \mathrm {~h} + \mathrm { c } ) } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } { \mathrm {~h} } = \frac { \mathrm { b } / 2 } { \sqrt { 1 - \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { 4 } } }$\\
$R f ^ { \prime } \left( 0 _ { + } \right) = \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \frac { e ^ { h / 2 } - 1 } { h } - \frac { 1 } { 2 } } { h } = \frac { 1 } { 8 }$\\
Now $\mathrm { L } ^ { \prime } \left( 0 _ { - } \right) = \mathrm { Rf } ^ { \prime } \left( 0 _ { + } \right) \Rightarrow \frac { \frac { \mathrm { b } } { 2 } } { \sqrt { 1 - \frac { \mathrm { c } ^ { 2 } } { 4 } } } = \frac { 1 } { 8 }$\\
$4 b = \sqrt { 1 - \frac { c ^ { 2 } } { 4 } } \Rightarrow 16 b ^ { 2 } = \frac { 4 - c ^ { 2 } } { 4 } \Rightarrow 64 b ^ { 2 } = 4 - c ^ { 2 }$.\\
Paper Questions
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