14. Evaluate $\int _ { - \pi / 3 } ^ { \pi / 3 } \frac { \pi + 4 x ^ { 3 } } { 2 - \cos \left( | x | + \frac { \pi } { 3 } \right) } d x$.
Sol. $I = \int _ { - \pi / 3 } ^ { \pi / 3 } \frac { \left( \pi + 4 x ^ { 3 } \right) d x } { 2 - \cos \left( | x | + \frac { \pi } { 3 } \right) }$ $2 \mathrm { I } = \int _ { - \pi / 3 } ^ { \pi / 3 } \frac { 2 \pi \mathrm { dx } } { 2 - \cos \left( | \mathrm { x } | + \frac { \pi } { 3 } \right) } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } \frac { 2 \pi \mathrm { dx } } { 2 - \cos \left( \mathrm { x } + \frac { \pi } { 3 } \right) }$ $\mathrm { I } = \int _ { \pi / 3 } ^ { 2 \pi / 3 } \frac { 2 \pi \mathrm { dt } } { 2 - \cos \mathrm { t } } \Rightarrow \mathrm { I } = 2 \pi \int _ { \pi / 3 } ^ { 2 \pi / 3 } \frac { \sec ^ { 2 } \frac { \mathrm { t } } { 2 } \mathrm { dt } } { 1 + 3 \tan ^ { 2 } \frac { \mathrm { t } } { 2 } } = 2 \pi \int _ { 1 / \sqrt { 3 } } ^ { \sqrt { 3 } } \frac { 2 \mathrm { dt } } { 1 + 3 \mathrm { t } ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi } { 3 } \int _ { 1 / \sqrt { 3 } } ^ { \sqrt { 3 } } \frac { \mathrm { dt } } { \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 } + \mathrm { t } ^ { 2 } }$ $\mathrm { I } = \frac { 4 \pi } { 3 } \sqrt { 3 } \left[ \tan ^ { - 1 } \sqrt { 3 } \mathrm { t } \right] _ { 1 / \sqrt { 3 } } ^ { \sqrt { 3 } } = \frac { 4 \pi } { \sqrt { 3 } } \left[ \tan ^ { - 1 } 3 - \frac { \pi } { 4 } \right] = \frac { 4 \pi } { \sqrt { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \right)$.