jee-advanced 2005 Q25

jee-advanced · India · screening Vectors 3D & Lines True/False or Multiple-Statement Verification

25. If $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ are three non zero, non coplanar vectors and $\vec { b } _ { 1 } = \vec { b } - \frac { \vec { b } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a }$,
$$\begin{aligned} & \vec { b } _ { 2 } = \vec { b } + \frac { \vec { b } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } , \text { And } \vec { c } _ { 1 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { | \vec { b } | ^ { 2 } } \vec { b } , \quad \vec { c } _ { 2 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { \left| \vec { b } _ { 1 } \right| ^ { 2 } } \vec { b } _ { 1 } \\ & \vec { c } _ { 3 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { | \vec { b } | ^ { 2 } } \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 4 } = \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } \end{aligned}$$
Then which of the following is a set of mutually orthogonal vectors:
(a) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 1 } , \vec { c } _ { 1 } \right)$
(b) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 1 } , \vec { c } _ { 2 } \right)$
(c) $\quad \left( \vec { a } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 3 } \right)$
(d) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 4 } \right)$

For the primitive integral equation $y d x + y ^ { 2 } d y = x d y ; x \in \mathbb { R } , y > 0$, if $y ( 1 ) = 1$ then $y ( - 3 )$ is

25. If $\vec { a } , \vec { b } , \vec { c }$ are three non zero, non coplanar vectors and $\vec { b } _ { 1 } = \vec { b } - \frac { \vec { b } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a }$,

$$\begin{aligned}
& \vec { b } _ { 2 } = \vec { b } + \frac { \vec { b } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } , \text { And } \vec { c } _ { 1 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { | \vec { b } | ^ { 2 } } \vec { b } , \quad \vec { c } _ { 2 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { \left| \vec { b } _ { 1 } \right| ^ { 2 } } \vec { b } _ { 1 } \\
& \vec { c } _ { 3 } = \vec { c } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { b } } { | \vec { b } | ^ { 2 } } \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 4 } = \vec { a } - \frac { \vec { c } \cdot \vec { a } } { | \vec { a } | ^ { 2 } } \vec { a }
\end{aligned}$$

Then which of the following is a set of mutually orthogonal vectors:\\
(a) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 1 } , \vec { c } _ { 1 } \right)$\\
(b) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 1 } , \vec { c } _ { 2 } \right)$\\
(c) $\quad \left( \vec { a } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 3 } \right)$\\
(d) $\left( \vec { a } , \vec { b } _ { 2 } , \vec { c } _ { 4 } \right)$\\

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