7. If $f ^ { \prime } ( x ) = - f ( x )$ and $g ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$ and $F ( x ) = \left( f \left( \frac { x } { 2 } \right) \right) ^ { 2 } + \left( g \left( \frac { x } { 2 } \right) \right) ^ { 2 }$ and given that $F ( 5 ) = 5$, then $F ( 10 )$ is equal to (A) 5 (B) 10 (C) 0 (D) 15
Sol. (A)
$\mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = - \mathrm { f } ( \mathrm { x } )$ and $\mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { g } ( \mathrm { x } )$ $\Rightarrow \mathrm { f } ^ { \prime \prime } ( \mathrm { x } ) \cdot \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) + \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) \cdot \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = 0$ $\Rightarrow \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) ^ { 2 } + \left( \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) \right) ^ { 2 } = \mathrm { c } \Rightarrow \left( \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { g } ( \mathrm { x } ) ) ^ { 2 } = \mathrm { c } \right.$ $\Rightarrow \mathrm { F } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { c } \Rightarrow \mathrm { F } ( 10 ) = 5$.
7. If $f ^ { \prime } ( x ) = - f ( x )$ and $g ( x ) = f ^ { \prime } ( x )$ and $F ( x ) = \left( f \left( \frac { x } { 2 } \right) \right) ^ { 2 } + \left( g \left( \frac { x } { 2 } \right) \right) ^ { 2 }$ and given that $F ( 5 ) = 5$, then $F ( 10 )$ is equal to\\
(A) 5\\
(B) 10\\
(C) 0\\
(D) 15
\section*{Sol. (A)}
$\mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = - \mathrm { f } ( \mathrm { x } )$ and $\mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { g } ( \mathrm { x } )$\\
$\Rightarrow \mathrm { f } ^ { \prime \prime } ( \mathrm { x } ) \cdot \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) + \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) \cdot \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) = 0$\\
$\Rightarrow \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) ^ { 2 } + \left( \mathrm { f } ^ { \prime } ( \mathrm { x } ) \right) ^ { 2 } = \mathrm { c } \Rightarrow \left( \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) ^ { 2 } + ( \mathrm { g } ( \mathrm { x } ) ) ^ { 2 } = \mathrm { c } \right.$\\
$\Rightarrow \mathrm { F } ( \mathrm { x } ) = \mathrm { c } \Rightarrow \mathrm { F } ( 10 ) = 5$.\\