jee-advanced 2006 Q27

jee-advanced · India Circles Optimization on a Circle

27. If P is a point on $\mathrm { C } _ { 1 }$ and Q in another point on $\mathrm { C } _ { 2 }$, then $\frac { \mathrm { PA } ^ { 2 } + \mathrm { PB } ^ { 2 } + \mathrm { PC } ^ { 2 } + \mathrm { PD } ^ { 2 } } { \mathrm { QA } ^ { 2 } + \mathrm { QB } ^ { 2 } + \mathrm { QC } ^ { 2 } + \mathrm { QD } ^ { 2 } }$ is equal to
(A) 0.75
(B) 1.25
(C) 1
(D) 0.5

Sol. (A)

Let $\mathrm { A } , \mathrm { B } , \mathrm { C }$ and D be the complex numbers $\sqrt { 2 } , - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } \mathrm { i }$ and $- \sqrt { 2 } \mathrm { i }$ respectively. $\Rightarrow \frac { \mathrm { PA } ^ { 2 } + \mathrm { PB } ^ { 2 } + \mathrm { PC } ^ { 2 } + \mathrm { PD } ^ { 2 } } { \mathrm { QA } ^ { 2 } + \mathrm { QB } ^ { 2 } + \mathrm { QC } ^ { 2 } + \mathrm { QD } ^ { 2 } } = \frac { \left| \mathrm { z } _ { 1 } - \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } + \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } + \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } - \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } } { \left| \mathrm { z } _ { 2 } + \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } - \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } - \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } + \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } } = \frac { \left| \mathrm { z } _ { 1 } \right| ^ { 2 } + 2 } { \left| \mathrm { z } _ { 2 } \right| ^ { 2 } + 2 } = \frac { 3 } { 4 }$.

If P is a point on $\mathrm { C } _ { 1 }$ and Q in another point on $\mathrm { C } _ { 2 }$, then $\frac { \mathrm { PA } ^ { 2 } + \mathrm { PB } ^ { 2 } + \mathrm { PC } ^ { 2 } + \mathrm { PD } ^ { 2 } } { \mathrm { QA } ^ { 2 } + \mathrm { QB } ^ { 2 } + \mathrm { QC } ^ { 2 } + \mathrm { QD } ^ { 2 } }$ is equal to

27. If P is a point on $\mathrm { C } _ { 1 }$ and Q in another point on $\mathrm { C } _ { 2 }$, then $\frac { \mathrm { PA } ^ { 2 } + \mathrm { PB } ^ { 2 } + \mathrm { PC } ^ { 2 } + \mathrm { PD } ^ { 2 } } { \mathrm { QA } ^ { 2 } + \mathrm { QB } ^ { 2 } + \mathrm { QC } ^ { 2 } + \mathrm { QD } ^ { 2 } }$ is equal to\\
(A) 0.75\\
(B) 1.25\\
(C) 1\\
(D) 0.5

\section*{Sol. (A)}
Let $\mathrm { A } , \mathrm { B } , \mathrm { C }$ and D be the complex numbers $\sqrt { 2 } , - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } \mathrm { i }$ and $- \sqrt { 2 } \mathrm { i }$ respectively.\\
$\Rightarrow \frac { \mathrm { PA } ^ { 2 } + \mathrm { PB } ^ { 2 } + \mathrm { PC } ^ { 2 } + \mathrm { PD } ^ { 2 } } { \mathrm { QA } ^ { 2 } + \mathrm { QB } ^ { 2 } + \mathrm { QC } ^ { 2 } + \mathrm { QD } ^ { 2 } } = \frac { \left| \mathrm { z } _ { 1 } - \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } + \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } + \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 1 } - \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } } { \left| \mathrm { z } _ { 2 } + \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } - \sqrt { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } - \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } + \left| \mathrm { z } _ { 2 } + \sqrt { 2 } \mathrm { i } \right| ^ { 2 } } = \frac { \left| \mathrm { z } _ { 1 } \right| ^ { 2 } + 2 } { \left| \mathrm { z } _ { 2 } \right| ^ { 2 } + 2 } = \frac { 3 } { 4 }$.\\

Paper Questions

Q2 Q3 Q4 Q5 Q7 Q8 Q9 Q10 Q12 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20 Q21 Q24 Q27 Q28 Q29 Q30 Q31 Q32 Q38 Q39