21. If $\mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { i } } \right) \propto \mathrm { i }$, where $\mathrm { i } = 1,2,3 , \ldots \mathrm { n }$, then $\lim _ { \mathrm { n } \rightarrow \infty } \mathrm { P } ( \mathrm { w } )$ is equal to\\
(A) 1\\
(B) $\frac { 2 } { 3 }$\\
(C) $\frac { 3 } { 4 }$\\
(D) $\frac { 1 } { 4 }$

Sol. (B)

$$\begin{aligned}
& \mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { i } } \right) = \mathrm { ki } \\
& \Sigma \mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { i } } \right) = 1 \\
& \Rightarrow \mathrm { k } = \frac { 2 } { \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) } \\
& \lim _ { \mathrm { n } \rightarrow \infty } \mathrm { P } ( \mathrm { w } ) = \lim _ { \mathrm { n } \rightarrow \infty } \sum _ { \mathrm { i } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \frac { 2 \mathrm { i } ^ { 2 } } { \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) ^ { 2 } } = \lim _ { \mathrm { n } \rightarrow \infty } \frac { 2 \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) ( 2 \mathrm { n } + 1 ) } { \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) ^ { 2 } 6 } = \frac { 2 } { 3 }
\end{aligned}$$

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{21}
  \item If $\mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { i } } \right) = \mathrm { c }$, where c is a constant then $\mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { n } } / \mathrm { w } \right)$ is equal to\\
(A) $\frac { 2 } { \mathrm { n } + 1 }$\\
(B) $\frac { 1 } { n + 1 }$\\
(C) $\frac { n } { n + 1 }$\\
(D) $\frac { 1 } { 2 }$
\end{enumerate}

Sol. (A)

$$\mathrm { P } \left( \frac { \mathrm { u } _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { w } } \right) = \frac { \mathrm { c } \left( \frac { \mathrm { n } } { \mathrm { n } + 1 } \right) } { \mathrm { c } \left( \frac { \Sigma \mathrm { i } } { ( \mathrm { n } + 1 } \right) } = \frac { 2 } { \mathrm { n } + 1 }$$

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{22}
  \item If n is even and E denotes the event of choosing even numbered urn $\left( \mathrm { P } \left( \mathrm { u } _ { \mathrm { i } } \right) = \frac { 1 } { \mathrm { n } } \right)$, then the value of $\mathrm { P } ( \mathrm { w } / \mathrm { E } )$ is\\
(A) $\frac { n + 2 } { 2 n + 1 }$\\
(B) $\frac { n + 2 } { 2 ( n + 1 ) }$\\
(C) $\frac { n } { n + 1 }$\\
(D) $\frac { 1 } { n + 1 }$
\end{enumerate}

\section*{Sol. (B)}
$$\mathrm { P } \left( \frac { \mathrm { w } } { \mathrm { E } } \right) = \frac { 2 + 4 + 6 + \cdots \mathrm { n } } { \frac { \mathrm { n } ( \mathrm { n } + 1 ) } { 2 } } = \frac { \mathrm { n } + 2 } { 2 ( \mathrm { n } + 1 ) }$$

\section*{Comprehension II}
Suppose we define the definite integral using the following formula $\int _ { a } ^ { b } f ( x ) d x = \frac { b - a } { 2 } ( f ( a ) + f ( b ) )$, for more accurate result for $\mathrm { c } \in ( \mathrm { a } , \mathrm { b } ) \mathrm { F } ( \mathrm { c } ) = \frac { \mathrm { c } - \mathrm { a } } { 2 } ( \mathrm { f } ( \mathrm { a } ) + \mathrm { f } ( \mathrm { c } ) ) + \frac { \mathrm { b } - \mathrm { c } } { 2 } ( \mathrm { f } ( \mathrm { b } ) + \mathrm { f } ( \mathrm { c } ) ) \quad$. When $\mathrm { c } = \frac { \mathrm { a } + \mathrm { b } } { 2 } , \int _ { \mathrm { a } } ^ { \mathrm { b } } \mathrm { f } ( \mathrm { x } ) \mathrm { dx } = \frac { \mathrm { b } - \mathrm { a } } { 4 } ( \mathrm { f } ( \mathrm { a } ) + \mathrm { f } ( \mathrm { b } ) + 2 \mathrm { f } ( \mathrm { c } ) )$.\\