We admit the identities:
$$\lim _ { a \rightarrow + \infty } \int _ { 0 } ^ { a } \sin \left( x ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x = \lim _ { a \rightarrow + \infty } \int _ { 0 } ^ { a } \cos \left( x ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x = \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 4 }$$
Show that there exist real numbers $c , c ^ { \prime } \in \mathbb { R }$ such that, as $a \rightarrow + \infty$, we have
$$\int _ { 0 } ^ { a } \sin \left( x ^ { 2 } \right) \mathrm { d } x = \frac { \sqrt { 2 \pi } } { 4 } + \frac { c } { a } \cos \left( a ^ { 2 } \right) + \frac { c ^ { \prime } } { a ^ { 3 } } \sin \left( a ^ { 2 } \right) + O \left( \frac { 1 } { a ^ { 5 } } \right) .$$