Let $\theta \in \mathbb { R } \backslash 2 \pi \mathbb { Z }$.
Show that, for all $n \in \mathbb { N } ^ { * }$,
$$\sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k \theta } } { k } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } \frac { 1 - \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } t \right) ^ { n } } { 1 - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \theta } t } \mathrm { ~d} t$$