Taking $t = \frac { \pi } { \sqrt { 6 n } }$ in the formula
$$p _ { n } = \frac { e ^ { n t } P \left( e ^ { - t } \right) } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } e ^ { - i n \theta } \frac { P \left( e ^ { - t } e ^ { i \theta } \right) } { P \left( e ^ { - t } \right) } \mathrm { d } \theta$$
conclude that
$$p _ { n } = O \left( \frac { \exp \left( \pi \sqrt { \frac { 2 n } { 3 } } \right) } { n } \right) \quad \text { when } n \text { tends to } + \infty$$