We define on $[ 0,1 ]$ the function $P _ { n }$ by: $$\forall x \in [ 0,1 ] , \quad P _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { n ! } \frac { \mathrm { d } ^ { n } \left( x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } \right) } { \mathrm { d } x ^ { n } } .$$ We set $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - y ) ^ { n } P _ { n } ( x ) } { 1 - x y } \mathrm {~d} x \mathrm {~d} y$. Deduce that $$I _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } y ^ { n } ( 1 - y ) ^ { n } } { ( 1 - x y ) ^ { n + 1 } } \mathrm {~d} x \mathrm {~d} y$$
We define on $[ 0,1 ]$ the function $P _ { n }$ by:
$$\forall x \in [ 0,1 ] , \quad P _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { n ! } \frac { \mathrm { d } ^ { n } \left( x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } \right) } { \mathrm { d } x ^ { n } } .$$
We set $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - y ) ^ { n } P _ { n } ( x ) } { 1 - x y } \mathrm {~d} x \mathrm {~d} y$.
Deduce that
$$I _ { n } = ( - 1 ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } y ^ { n } ( 1 - y ) ^ { n } } { ( 1 - x y ) ^ { n + 1 } } \mathrm {~d} x \mathrm {~d} y$$