We fix $( p , q ) \in \left( \mathbf { N } ^ { * } \right) ^ { 2 }$ and set $\alpha _ { p , q } := \dfrac { p } { q }$. We define, for all $t \in \mathbf { R } _ { + }$, the application $I _ { p , q } : \mathbf { R } _ { + } \rightarrow \mathbf { R }$ by
$$I _ { p , q } ( t ) := \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { ( t + 1 ) \alpha _ { p , q } } } { 1 + x ^ { \alpha _ { p , q } } } d x$$
Show that, for all $( p , q ) \in \left( \mathrm { N } ^ { * } \right) ^ { 2 }$,
$$S _ { p , q } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t ^ { q - 1 } } { 1 + t ^ { p } } d t$$