grandes-ecoles 2025 Q9

grandes-ecoles · France · mines-ponts-maths2__pc Standard Integrals and Reverse Chain Rule Definite Integral Evaluation via Substitution or Standard Forms

We define $E _ { 1 } := \left\{ ( p , q ) \in \left( \mathbf { N } ^ { * } \right) ^ { 2 } : p = q \right\}$ and $S _ { p , q } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \dfrac { t ^ { q - 1 } } { 1 + t ^ { p } } d t$.
Show that, for all $( p , q ) \in E _ { 1 }$, $$S _ { p , q } = \frac { \ln 2 } { p }$$

We define $E _ { 1 } := \left\{ ( p , q ) \in \left( \mathbf { N } ^ { * } \right) ^ { 2 } : p = q \right\}$ and $S _ { p , q } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \dfrac { t ^ { q - 1 } } { 1 + t ^ { p } } d t$.

Show that, for all $( p , q ) \in E _ { 1 }$,
$$S _ { p , q } = \frac { \ln 2 } { p }$$

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