isi-entrance 2023 Q10

isi-entrance · India · UGA Taylor series Limit evaluation using series expansion or exponential asymptotics

The limit $$\lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( ( n + 1 ) ^ { ( n + 1 ) } ( n + 2 ) ^ { ( n + 2 ) } \ldots ( 2 n ) ^ { ( 2 n ) } \right) ^ { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } }$$ equals
(A) 0.
(B) 1.
(C) $e ^ { - \frac { 1 } { 4 } }$.
(D) $4 e ^ { - \frac { 3 } { 4 } }$.

The limit
$$\lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( ( n + 1 ) ^ { ( n + 1 ) } ( n + 2 ) ^ { ( n + 2 ) } \ldots ( 2 n ) ^ { ( 2 n ) } \right) ^ { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } }$$
equals\\
(A) 0.\\
(B) 1.\\
(C) $e ^ { - \frac { 1 } { 4 } }$.\\
(D) $4 e ^ { - \frac { 3 } { 4 } }$.

Paper Questions

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