grandes-ecoles 2021 Q2a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Probability Definitions Proof of a Probability Identity or Inequality

Let $s > 1$ be a real number and let $X$ be a random variable taking values in $\mathbb{N}^*$ following the zeta distribution with parameter $s$. If $n \in \mathbb{N}^*$, we denote $\{n \mid X\}$ the event ``$n$ divides $X$'' and $\{n \nmid X\}$ the complementary event.
Let $r \geqslant 1$ be an integer. Show that $$P\left(\bigcap_{i=1}^{r}\left\{p_i \nmid X\right\}\right) = \prod_{i=1}^{r}\left(1 - p_i^{-s}\right).$$

Let $s > 1$ be a real number and let $X$ be a random variable taking values in $\mathbb{N}^*$ following the zeta distribution with parameter $s$. If $n \in \mathbb{N}^*$, we denote $\{n \mid X\}$ the event ``$n$ divides $X$'' and $\{n \nmid X\}$ the complementary event.

Let $r \geqslant 1$ be an integer. Show that
$$P\left(\bigcap_{i=1}^{r}\left\{p_i \nmid X\right\}\right) = \prod_{i=1}^{r}\left(1 - p_i^{-s}\right).$$

Paper Questions

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