grandes-ecoles 2021 Q9b

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Discrete Random Variables Expectation of a Function of a Discrete Random Variable

Let $s > 1$ be a real number and let $X$ be a random variable taking values in $\mathbb{N}^*$ following the zeta distribution with parameter $s$. We recall that $\chi_4(2n) = 0$ and $\chi_4(2n-1) = (-1)^{n-1}$ for $n \in \mathbb{N}^*$.
Show that $$E\left(\chi_4(X)\right) = \frac{1}{\zeta(s)} \lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \chi_4\left(p_k\right) p_k^{-s}}.$$

Let $s > 1$ be a real number and let $X$ be a random variable taking values in $\mathbb{N}^*$ following the zeta distribution with parameter $s$. We recall that $\chi_4(2n) = 0$ and $\chi_4(2n-1) = (-1)^{n-1}$ for $n \in \mathbb{N}^*$.

Show that
$$E\left(\chi_4(X)\right) = \frac{1}{\zeta(s)} \lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{1}{1 - \chi_4\left(p_k\right) p_k^{-s}}.$$

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