grandes-ecoles 2021 Q10a

grandes-ecoles · France · x-ens-maths2__mp Addition & Double Angle Formulae Trigonometric Identity Proof or Derivation

Let $n \in \mathbb{N}$. Explicitly give a polynomial $P_n \in \mathbb{R}[X]$ such that, for all $\theta \in \mathbb{R}$, $$\sin((2n+1)\theta) = \sin(\theta) P_n\left(\sin^2(\theta)\right).$$ Hint: you may expand $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{2n+1}$.

Let $n \in \mathbb{N}$. Explicitly give a polynomial $P_n \in \mathbb{R}[X]$ such that, for all $\theta \in \mathbb{R}$,
$$\sin((2n+1)\theta) = \sin(\theta) P_n\left(\sin^2(\theta)\right).$$
Hint: you may expand $(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^{2n+1}$.

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