grandes-ecoles 2023 Q8

grandes-ecoles · France · centrale-maths2__official Integration by Substitution Substitution to Evaluate Limit of an Integral Expression
Show that $$\lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt { n } I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm {~d} u$$ where $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { n } } \mathrm {~d} t$. 
Show that
$$\lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt { n } I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { e } ^ { - u ^ { 2 } } \mathrm {~d} u$$
where $I _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { n } } \mathrm {~d} t$.
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