The value of the integral $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \sqrt { x } d x } { ( 1 + x ) ( 1 + 3 x ) ( 3 + x ) }$ is: (1) $\frac { \pi } { 4 } \left( 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right)$ (2) $\frac { \pi } { 8 } \left( 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } \right)$ (3) $\frac { \pi } { 8 } \left( 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right)$ (4) $\frac { \pi } { 4 } \left( 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } \right)$

The value of $\int _ { - 1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } e ^ { \left[ x ^ { 3 } \right] } d x$, where $[ t ]$ denotes the greatest integer $\leq t$, is :
(1) $\frac { e + 1 } { 3 }$
(2) $\frac { e - 1 } { 3 e }$
(3) $\frac { 1 } { 3 e }$
(4) $\frac { e + 1 } { 3 e }$

The integral $\int \frac { e ^ { 3 \log _ { e } 2 x } + 5 e ^ { 2 \log _ { e } 2 x } } { e ^ { 4 \log _ { e } x } + 5 e ^ { 3 \log _ { e } x } - 7 e ^ { 2 \log _ { e } x } } d x , x > 0$, is equal to (where $c$ is a constant of integration)
(1) $\log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(2) $4 \log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(3) $\frac { 1 } { 4 } \log _ { \mathrm { e } } \left| x ^ { 2 } + 5 x - 7 \right| + \mathrm { c }$
(4) $\log _ { e } \sqrt { x ^ { 2 } + 5 x - 7 } + c$

Which of the following statement is correct for the function $g ( \alpha )$ for $\alpha \in R$ such that $g ( \alpha ) = \int _ { \frac { \pi } { 6 } } ^ { \frac { \pi } { 3 } } \frac { \sin ^ { \alpha } x } { \cos ^ { \alpha } x + \sin ^ { \alpha } x } d x$
(1) $g ( \alpha )$ is a strictly increasing function
(2) $g ( \alpha )$ has an inflection point at $\alpha = - \frac { 1 } { 2 }$
(3) $g ( \alpha )$ is a strictly decreasing function
(4) $g ( \alpha )$ is an even function

The integral $\int \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { ( x - 1 ) ^ { 3 } ( x + 2 ) ^ { 5 } } } \mathrm {~d} x$ is equal to : (where $C$ is a constant of integration)
(1) $\frac { 3 } { 4 } \left( \frac { x + 2 } { x - 1 } \right) ^ { \frac { 5 } { 4 } } + C$
(2) $\frac { 4 } { 3 } \left( \frac { x - 1 } { x + 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + C$
(3) $\frac { 4 } { 3 } \left( \frac { x - 1 } { x + 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 4 } } + \mathrm { C }$
(4) $\frac { 3 } { 4 } \left( \frac { x + 2 } { x - 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \mathrm { C }$

$\int \frac { 2 e ^ { x } + 3 e ^ { - x } } { 4 e ^ { x } + 7 e ^ { - x } } d x = \frac { 1 } { 14 } \left( u x + v \log _ { e } \left( 4 e ^ { x } + 7 e ^ { - x } \right) \right) + C$, where $C$ is a constant of integration, then $u + v$ is equal to

The integral $\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 } { 3 + 2 \sin x + \cos x } d x$ is equal to:
(1) $\tan ^ { - 1 } ( 2 )$
(2) $\tan ^ { - 1 } ( 2 ) - \frac { \pi } { 4 }$
(3) $\frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } ( 2 ) - \frac { \pi } { 8 }$
(4) $\frac { 1 } { 2 }$

Let $g : ( 0 , \infty ) \rightarrow R$ be a differentiable function such that $\int \left( \frac { x \cos x - \sin x } { e ^ { x } + 1 } + \frac { g(x) ( e ^ { x } + 1 ) - x e ^ { x } } { ( e ^ { x } + 1 ) ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } x = \frac { x g(x) } { e ^ { x } + 1 } + C$, for all $x > 0$, where $C$ is an arbitrary constant. Then
(1) $g$ is decreasing in $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$
(2) $g - g ^ { \prime }$ is increasing in $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$
(3) $g ^ { \prime }$ is increasing in $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$
(4) $g + g ^ { \prime }$ is increasing in $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$

Let $f$ be a differentiable function in $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$. If $\int _ { \cos x } ^ { 1 } t ^ { 2 } f ( t ) d t = \sin ^ { 3 } x + \cos x$, then $\frac { 1 } { \sqrt { 3 } } f ^ { \prime } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right)$ is equal to
(1) $6 - 9 \sqrt { 2 }$
(2) $6 + \frac { 9 } { \sqrt { 2 } }$
(3) $6 - \frac { 9 } { \sqrt { 2 } }$
(4) $3 + \sqrt { 2 }$

The value of $\int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { e ^ { \cos x } \sin x } { ( 1 + \cos ^ { 2 } x )( e ^ { \cos x } + e ^ { - \cos x } ) } \mathrm { d } x$ is equal to

The integral $\int \frac{ \left(1 - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } }\right) \cos x - \sin x } { 1 + \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \sin 2 x } d x$ is equal to
(1) $\frac { 1 } { 2 } \log _ { e } \left| \frac { \tan \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 12} \right) } { \tan\left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } \right) } \right| + C$
(2) $\log _ { e } \left| \frac { \tan \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } \right) } { \tan\left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 3 } \right) } \right| + C$
(3) $\frac { 1 } { 2 } \log _ { e } \left| \frac { \tan \left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 6 } \right) } { \tan\left( \frac { x } { 2 } + \frac { \pi } { 3 } \right) } \right| + C$
(4) $\frac { 1 } { 2 } \log _ { e } \left| \frac { \tan \left( \frac { x } { 2 } - \frac { \pi } { 12 } \right) } { \tan \left( \frac { x } { 2 } - \frac { \pi } { 6 } \right) } \right| + C$

The slope of the tangent to a curve $C : y = y(x)$ at any point $(x,y)$ on it is $\frac { 2e ^ { 2x } - 6e ^ { -x } + 9 } { 2 + 9e ^ { -2x } }$. If $C$ passes through the points $\left(0, \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)$ and $\left(\alpha, \frac{1}{2} e ^ { 2\alpha }\right)$ then $e ^ { \alpha }$ is equal to
(1) $\frac { 3 + \sqrt { 2 } } { 3 - \sqrt { 2 } }$
(2) $\frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \cdot \frac { 3 + \sqrt { 2 } } { 3 - \sqrt { 2 } }$
(3) $\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cdot \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 }$
(4) $\frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 }$

If $n ( 2 n + 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - x ^ { n } \right) ^ { 2 n } d x = 1177 \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - x ^ { n } \right) ^ { 2 n + 1 } d x$, then $n \in N$ is equal to $\_\_\_\_$.

If $I(x) = \int e^{\sin^2 x} \cos x (\sin 2x - \sin x)\, dx$ and $I(0) = 1$, then $I\!\left(\frac{\pi}{3}\right)$ is equal to
(1) $-\frac{1}{2}e^{\frac{3}{4}}$
(2) $\frac{1}{2}e^{\frac{3}{4}}$
(3) $-e^{\frac{3}{4}}$
(4) $e^{\frac{3}{4}}$

The value of $\dfrac { e ^ { - \frac { \pi } { 4 } } + \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } e ^ { - x } \tan ^ { 50 } x \, d x } { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } e ^ { - x } \left( \tan ^ { 49 } x + \tan ^ { 51 } x \right) d x }$
(1) 51
(2) 50
(3) 25
(4) 49

If $\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \left( 5 + 2 x - 2 x ^ { 2 } \right) \left( 1 + e ^ { ( 2 - 4 x ) } \right) } d x = \frac { 1 } { \alpha } \log _ { e } \left( \frac { \alpha + 1 } { \beta } \right) , \alpha , \beta > 0$, then $\alpha ^ { 4 } - \beta ^ { 4 }$ is equal to
(1) 19
(2) $- 21$
(3) 0
(4) 21

Let $\alpha \in (0,1)$ and $\beta = \log_e(1-\alpha)$. Let $P_n(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots + \frac{x^n}{n}$, $x \in (0,1)$. Then the integral $\int_0^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t}\,dt$ is equal to
(1) $\beta - P_{50}(\alpha)$
(2) $-\beta + P_{50}(\alpha)$
(3) $P_{50}(\alpha) - \beta$
(4) $\beta + P_{50}(\alpha)$

The value of $\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{2 + 3\sin x}{\sin x(1 + \cos x)}\,dx$ is equal to
(1) $\frac{7}{2} - \sqrt{3} - \log_e\sqrt{3}$
(2) $-2 + 3\sqrt{3} + \log_e\sqrt{3}$
(3) $\frac{10}{3} - \sqrt{3} + \log_e\sqrt{3}$
(4) $\frac{10}{3} - \sqrt{3} - \log_e\sqrt{3}$

The integral $16 \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { d x } { x ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 2 \right) ^ { 2 } }$ is equal to
(1) $\frac { 11 } { 6 } + \log _ { e } 4$
(2) $\frac { 11 } { 12 } + \log _ { e } 4$
(3) $\frac { 11 } { 12 } - \log _ { e } 4$
(4) $\frac { 11 } { 6 } - \log _ { e } 4$

Let $f ( x ) = x + \frac { a } { \pi ^ { 2 } - 4 } \sin x + \frac { b } { \pi ^ { 2 } - 4 } \cos x , x \in \mathbb { R }$ be a function which satisfies $f ( x ) = x + \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \sin ( x + y ) f ( y ) d y$. Then $( a + b )$ is equal to
(1) $- \pi ( \pi + 2 )$
(2) $- 2 \pi ( \pi + 2 )$
(3) $- 2 \pi ( \pi - 2 )$
(4) $- \pi ( \pi - 2 )$

If $\int \sqrt{\sec 2x - 1}\, dx = \alpha \log_{e}\left|\cos 2x + \beta + \sqrt{\cos 2x\left(1 + \cos \frac{1}{\beta}x\right)}\right| + \text{constant}$, then $\beta - \alpha$ is equal to $\_\_\_\_$.

Let $I ( x ) = \int \sqrt { \frac { x + 7 } { x } } d x$ and $I ( 9 ) = 12 + 7 \log _ { e } 7$. If $I ( 1 ) = \alpha + 7 \log _ { e } ( 1 + 2 \sqrt { 2 } )$, then $\alpha ^ { 4 }$ is equal to $\_\_\_\_$ .

Let $f ( x ) = \int \frac { 2 x } { \left( x ^ { 2 } + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 3 \right) } d x$. If $f ( 3 ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \log _ { e } 5 - \log _ { e } 6 \right)$, then $f ( 4 )$ is equal to
(1) $\frac { 1 } { 2 } \left( \log _ { e } 17 - \log _ { e } 19 \right)$
(2) $\log _ { \mathrm { e } } 17 - \log _ { \mathrm { e } } 18$
(3) $\frac { 1 } { 2 } \left( \log _ { e } 19 - \log _ { e } 17 \right)$
(4) $\log _ { e } 19 - \log _ { e } 20$

The value of the integral $\int _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { t ^ { 4 } + 1 } { t ^ { 6 } + 1 } \right) d t$ is : (1) $\tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { - 1 } 8 - \frac { \pi } { 3 }$ (2) $\tan ^ { - 1 } 2 - \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { - 1 } 8 + \frac { \pi } { 3 }$ (3) $\tan ^ { - 1 } 2 + \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { - 1 } 8 - \frac { \pi } { 3 }$ (4) $\tan ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { - 1 } 8 + \frac { \pi } { 3 }$

Let $I ( x ) = \int \frac { x + 1 } { x \left( 1 + x e ^ { x } \right) ^ { 2 } } d x , x > 0$. If $\lim _ { x \rightarrow \infty } I ( x ) = 0$ then $I ( 1 )$ is equal to
(1) $\frac { e + 2 } { e + 1 } - \log _ { e } ( e + 1 )$
(2) $\frac { e + 1 } { e + 2 } + \log _ { e } ( e + 1 )$
(3) $\frac { e + 1 } { e + 2 } - \log _ { e } ( e + 1 )$
(4) $\frac { e + 2 } { e + 1 } + \log _ { e } ( e + 1 )$